SLC/Resolution de problemes-J.McCalla

La résolution de problèmes, une méthode générale

jmccalla@slc.qc.ca

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[A.INTRODUCTION] [B.SURVOL] [C.EXEMPLES] [D.PEDAGOGIE]

A. INTRODUCTION

Un problème majeur rencontré par les étudiants les plus faibles au secondaire et au cégep est le manque d'habilité et de souplesse dans la résolution de problèmes. Par le passé on a souvent essayé de remédier à ce problème en enseignant aux élèves à reconnaître des problèmes-types et à mémoriser des "étapes de solution" correspondantes. Ainsi, quand l'étudiant rencontre des questions similaires, il est capable de sortir les solutions sans trop de difficulté. Le hic est que l'élève est démuni quand il est confronté à un problème vraiment nouveau. La méthode présentée ici tente de surmonter cette difficulté en offrant une approche linéaire à la résolution de problèmes.

Le processus de résolution de problèmes consiste en général en quatre tâches, qui peuvent être accomplies dans l'ordre suivant: déterminer les DONNEES, définir l'OBJECTIF, élaborer une PISTE LOGIQUE, et finalement effectuer la SOLUTION, à partir des DONNEES en suivant la PISTE LOGIQUE vers l'OBJECTIF.

Une fois la PISTE LOGIQUE déterminée, l'élaboration de la SOLUTION est une tâche mécanique, comportant seulement des opérations mathématiques. Les étapes d'analyse et de synthèse ont déjà été accomplies par les trois tâches précédentes. C'est l'élaboration de la PISTE LOGIQUE qui est la clef de cette approche.

Dans un premier temps, nous allons faire un bref survol de la méthode. Ensuite, deux exemples tirés de deux disciplines scientifiques montreront l'utilité générale de la méthode. Et finalement, un autre exemple servira de contexte pour illustrer la dimension pédagogique de chaque étape.

B. UN SURVOL DE LA METHODE

La première tâche consiste à déterminer ce qui est donné. Pour ce faire, l'étudiant doit lire le problème et isoler l'information disponible sur les variables et les quantités. Ensuite l'étudiant transforme cette information en nombres avec les unités appropriées ou en variables mathématiques, en les notant sous le titre DONNEES. Parfois il y aura des diagrammes parmi les DONNEES (en électricité, par exemple, un schéma du circuit sera nécessaire). L'étudiant essaie d'éviter l'emploi de mots, autant que possible, cherchant plutôt à représenter l'information par d'autres symboles.

Deuxièmement, on définit la destination: c'est l'étape de l'OBJECTIF. Encore une fois, l'étudiant utilise des symboles et des unités plutôt que des paroles. Ces deux étapes sont des étapes d'analyse: on lit, on décompose, on reconstruit l'information avec des notations symboliques qui favorisent la résolution du problème.

Une fois que l'étudiant aura déterminé l'OBJECTIF, il cherchera à trouver un cheminement entre les DONNEES et l'OBJECTIF. C'est à ce point que cette méthode se distingue d'autres approches. Au lieu d'apprendre des "étapes de solution", l'étudiant est appelé à construire lui-même, étape par étape, la PISTE LOGIQUE qui relie les deux, à partir des relations qu'il connaît déjà. Chaque étape est basée sur une définition, un principe chimique ou physique, ou sur une formule qui exprime une relation établie par des expériences. Le point de départ pour le développement de la PISTE LOGIQUE est l'OBJECTIF. On commence par l'OBJECTIF parce qu'il y aurait peut-être plusieurs éléments dans les DONNEES, qui risquent de faire en sorte qu'il soit difficile de savoir où commencer. Par contre, il n'y aura qu'un OBJECTIF, qui devient donc un point de départ sûr. C'est ainsi que l'on construira la PISTE LOGIQUE à rebours, en commençant par l'OBJECTIF, pour arriver finalement aux DONNEES.

Une fois la PISTE établie, l'étudiant commence à la suivre, à partir, cette fois, des DONNEES. Même s'il y a plusieurs étapes dans la PISTE LOGIQUE, on peut obtenir la SOLUTION en regroupant les opérations, soit par une formule ou par l'analyse dimensionnelle. Toutefois, le nombre d'opérations est dicté par la PISTE et par le goût du chercheur.

C. EXEMPLES

Le premier exemple montre une façon pour l'élève d'organiser son travail. La PISTE LOGIQUE est développée de gauche à droite, avec une flèche pour chaque relation. Dans cet exemple on indique, sous les flèches, les principes utilisés pour chaque étape de la PISTE LOGIQUE. Pour les "jeunes apprentis" ce rappel les aide à concrétiser la démarche et facilite l'obtention de la SOLUTION. Par contre, quand l'élève aura maîtrisé les principes (lois, formules, proportionnalités, etc.) il pourra simplement utiliser les flèches. Les étapes de la SOLUTION de cet exemple sont basées sur l'analyse dimensionnelle, ce qui est convenable ici parce que toutes les relations sont des proportionnalités. La règle de trois peut aussi être utilisée.

1. Change l'unité L en m³.

Donnée: L

Objectif: m³

Ce qui suit est un exemple tiré d'un article écrit par Howard C. McAllister en 1993 ("Problem Solving and Learning"):

2. Démontrez que l'énergie totale d'un satellite de masse m dans un orbite circulaire de rayon r autour de la terre de masse M est égale à la moitié de son énergie potentielle.

Données: énergie totale (E), énergie potentielle (U), énergie cinétique (K)

Objectif: E = 1/2 U

Piste logique: déterminer E et comparer avec U:

Solution: Substituez:

F/m = GmM/r²m = GM/r²

ar = GMr/r²= GM/r

K = 1/2 m(GM/r) = 1/2 GmM/r

E = 1/2 GmM/r + -GmM/r = -1/2 GmM/r = 1/2 U

D. LA PEDAGOGIE DE LA METHODE DES PISTES

Le problème qui suit montre une approche pédagogique pour cette méthode de résolution de problèmes. Nous allons d'abord présenter le problème comme il apparaîtra dans les notes prises par l'étudiant. Ensuite, nous passerons à la démarche pédagogique qui peut être utilisée par l'enseignant. C'est là qu'on trouvera des explications et des questions qui mènent l'étudiant à trouver les PISTES.

L'acide chlorhydrique disponible commercialement a comme densité 1.19 g/mL et comme pourcentage par masse 38% HCl. Déterminer la molarité de la solution.

Résolution de problèmes par PISTE Pédagogie

DONNEES: ---

Ici, on voit une représentation symbolique de l'information contenue dans le problème. Il ne faut pas, par exemple, simplement transcrire les informations: il faut les transformer en même temps. On développe les unités, pour en extraire le plus d'information possible; par exemple, la densité n'est pas notée 1.19 g/mL , mais plutôt . C'est ainsi qu'on voit explicitement la relation entre les unités g solution et mL solution . De même, on ne laisse jamais un pourcentage comme tel, préférant le transformer pour montrer clairement sur quelles unités est basé le pourcentage. Cette information s'avérera très importante pour bâtir la PISTE par la suite.

OBJECTIF: ---
L'OBJECTIF est toujours exprimé de façon à révéler le plus possible sa nature. Au lieu d'écrire "Molarité" ou "M", on note ces unités composées en fonction des unités qu'ils constituent. En faisant cela, nous clarifions notre vrai but: ce qu'on cherche en vérité. Un objectif clair et précis est indispensable pour la résolution des problèmes. A ce moment dans le processus, toute l'information essentielle du problème a été analysée et mise sur papier en symboles. On ne fera plus référence au problème de départ.

PISTE LOGIQUE: Ici, on va procéder, étape par étape, comme fera le professeur en abordant ce problème avec ses étudiants. Il faut noter qu'il y a deux PISTES ici, définies par l'OBJECTIF.

On commence ici avec l'OBJECTIF: le professeur l'écrit (mol HCl) sur le tableau et questionne la classe: "Qu'est-ce que vous savez par rapport au moles de HCl ?" Comme la classe aura déjà appris la relation entre Mole et Gramme qui est implicite dans la Masse Molaire, il est bien possible que les étudiants réalisent que, s'ils savaient le nombre de grammes de HCl, ils seraient en mesure d'obtenir de ces grammes le nombre de moles de HCl. La flèche représente l'opération mathématique qui est nécessaire pour transformer les g HCl en mol HCl . Cette opération ne sera réalisée que plus tard, dans la Solution.

Après avoir écrit la flèche, il serait peut-être utile d'écrire aussi la relation ou la formule qui sera utilisée dans la Solution. On peut l'indiquer sous la flèche. Une fois que les relations deviennent automatiques, il suffira d'utiliser les flèches sans autre notation:

Une fois une connection logique établie pour l'OBJECTIF original, l'élément qui vient de s'ajouter à la PISTE devient le nouvel objectif. Les étudiants sont alors invités à réfléchir sur leur connaissances relatives à g HCl , ne perdant pas de vue les éléments des DONNEES. A ce moment, il se peut qu'ils trouvent la relation, ce qui leur donne une façon de lier g HCl et g solution . On écrit alors une deuxième flèche pour lier ces deux unités

Encore une fois, il s'avère utile d'écrire la relation en dessous de la flèche, pour rappeler ce qu'on va faire, une fois rendu à la SOLUTION.

On sait qu'on ne connaît pas le nombre de grammes de solution, et n'ayant pas l'information nécessaire, on va prendre comme hypothèse 100 g solution . On peut en fait choisir n'importe quelle masse: la seule restriction est qu'il faut retenir la même hypothèse pour l'autre PISTE (pour retrouver L solution ). La division qui sera faite à la SOLUTION annulera l'hypothèse dans les deux cas. Etant donné qu'on est rendu aux DONNEES, on a terminé le travail sur cette PISTE. Il reste à faire l'autre! Il est à noter que le chercheur est invité à se concentrer sur un seul objectif à la fois, ce qui le rend plus efficace: les éléments qui n'ont pas un rapport direct avec l'objectif immédiat ne sont pas considérés. S'ils ne rentrent jamais dans la PISTE logique, ils seront considérés comme les "données inutiles"

La deuxième PISTE procède de la même manière que la première, commençant avec l'OBJECTIF. La question est: "Que doit-on savoir pour obtenir L solution ?" Puis la réponse sera: "On pourrait trouver L solution si on savait mL solution ." Nous pourrions écrire la relation en dessous de la flèche si les étudiants en éprouvent le besoin. Si, par contre la relation leur est déjà très familière, la flèche suffit.

Ensuite, on demande: "Que doit-on savoir pour trouver mL solution ?" Et on espère que les étudiants répondront: "Nous pourrions obtenir les mL solution des g solution par la densité." On pourrait alors écrire la densité en dessous de la flèche pour être plus clair.

La dernière étape consiste à proposer la même hypothèse qu'on a utilisée pour la première PISTE. Arrivé à la même hypothèse, on peut être confiant que lorsque les calculs seront complétés, les hypothèses s'annuleront (étant donné qu'on détérmine ici un quotient). Et tout ce qui reste maintenant, c'est les calculs...(il n'y a rien là!)

SOLUTION: ---

On commence la SOLUTION à la fin de la PISTE et on procède vers le début, étape par étape. La première étape utilise la relation .
La solution montrée ici utilise l'analyse dimensionnelle. On pourrait aussi utiliser la règle de trois, mais j'aimerais encourager l'usage de l'analyse dimensionnelle. Cette dernière est plus rapide, se corrige toute seule par les unités, et est l'équivalent mathématique de la règle de trois.

La dernière étape dans cette PISTE consiste à changer les g HCl en mol HCl , par l'usage du facteur

ou par l'usage de la règle de trois. Un autre avantage de l'usage de l'analyse dimensionnelle est la facilité des calculs, qui peuvent maintenant être complétés dans une opération. On encourage les étudiants à vérifier les unités pour éviter les erreurs: si l'unité ne correspond pas à ce qu'on a écrit dans l'OBJECTIF, nous nous sommes égarés dans notre démarche.

Encore une fois, la SOLUTION suit la PISTE en commençant avec les 100g solution , pour les changer en mL solution , pour arriver finalement à l'unité L solution .

La toute dernière étape consiste à mettre ensemble les résultats des deux PISTEs et de rapporter la réponse à la question, en respectant les chiffres significatifs, bien sûr!

Et le tour est joué!!!

Je voudrais exprimer ma profonde reconnaîssance envers John Miller et Sylvie Gosselin (professeurs respectivement de physique et de chimie à St. Lawrence), Jean-François Vallée (professeur de français à St. Lawrence) et Howard McAllister (professeur de physique à l'Université de Hawaii). Mes collègues et M. McAllister ont été des sources riches de matière de réflexion sur la résolution de problèmes. L'aide de tout le monde (sauf M. McAllister!) dans la rédaction du français est également très appréciée.

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Résolution de problèmes par PISTE	Pédagogie
DONNEES:	---
	Ici, on voit une représentation symbolique de l'information contenue dans le problème. Il ne faut pas, par exemple, simplement transcrire les informations: il faut les transformer en même temps. On développe les unités, pour en extraire le plus d'information possible; par exemple, la densité n'est pas notée 1.19 g/mL , mais plutôt . C'est ainsi qu'on voit explicitement la relation entre les unités g solution et mL solution . De même, on ne laisse jamais un pourcentage comme tel, préférant le transformer pour montrer clairement sur quelles unités est basé le pourcentage. Cette information s'avérera très importante pour bâtir la PISTE par la suite.
OBJECTIF:	---
	L'OBJECTIF est toujours exprimé de façon à révéler le plus possible sa nature. Au lieu d'écrire "Molarité" ou "M", on note ces unités composées en fonction des unités qu'ils constituent. En faisant cela, nous clarifions notre vrai but: ce qu'on cherche en vérité. Un objectif clair et précis est indispensable pour la résolution des problèmes. A ce moment dans le processus, toute l'information essentielle du problème a été analysée et mise sur papier en symboles. On ne fera plus référence au problème de départ.
PISTE LOGIQUE:	Ici, on va procéder, étape par étape, comme fera le professeur en abordant ce problème avec ses étudiants. Il faut noter qu'il y a deux PISTES ici, définies par l'OBJECTIF.
	On commence ici avec l'OBJECTIF: le professeur l'écrit (mol HCl) sur le tableau et questionne la classe: "Qu'est-ce que vous savez par rapport au moles de HCl ?" Comme la classe aura déjà appris la relation entre Mole et Gramme qui est implicite dans la Masse Molaire, il est bien possible que les étudiants réalisent que, s'ils savaient le nombre de grammes de HCl, ils seraient en mesure d'obtenir de ces grammes le nombre de moles de HCl. La flèche représente l'opération mathématique qui est nécessaire pour transformer les g HCl en mol HCl . Cette opération ne sera réalisée que plus tard, dans la Solution.
	Après avoir écrit la flèche, il serait peut-être utile d'écrire aussi la relation ou la formule qui sera utilisée dans la Solution. On peut l'indiquer sous la flèche. Une fois que les relations deviennent automatiques, il suffira d'utiliser les flèches sans autre notation:
	Une fois une connection logique établie pour l'OBJECTIF original, l'élément qui vient de s'ajouter à la PISTE devient le nouvel objectif. Les étudiants sont alors invités à réfléchir sur leur connaissances relatives à g HCl , ne perdant pas de vue les éléments des DONNEES. A ce moment, il se peut qu'ils trouvent la relation, ce qui leur donne une façon de lier g HCl et g solution . On écrit alors une deuxième flèche pour lier ces deux unités
	Encore une fois, il s'avère utile d'écrire la relation en dessous de la flèche, pour rappeler ce qu'on va faire, une fois rendu à la SOLUTION.
	On sait qu'on ne connaît pas le nombre de grammes de solution, et n'ayant pas l'information nécessaire, on va prendre comme hypothèse 100 g solution . On peut en fait choisir n'importe quelle masse: la seule restriction est qu'il faut retenir la même hypothèse pour l'autre PISTE (pour retrouver L solution ). La division qui sera faite à la SOLUTION annulera l'hypothèse dans les deux cas. Etant donné qu'on est rendu aux DONNEES, on a terminé le travail sur cette PISTE. Il reste à faire l'autre! Il est à noter que le chercheur est invité à se concentrer sur un seul objectif à la fois, ce qui le rend plus efficace: les éléments qui n'ont pas un rapport direct avec l'objectif immédiat ne sont pas considérés. S'ils ne rentrent jamais dans la PISTE logique, ils seront considérés comme les "données inutiles"
	La deuxième PISTE procède de la même manière que la première, commençant avec l'OBJECTIF. La question est: "Que doit-on savoir pour obtenir L solution ?" Puis la réponse sera: "On pourrait trouver L solution si on savait mL solution ." Nous pourrions écrire la relation en dessous de la flèche si les étudiants en éprouvent le besoin. Si, par contre la relation leur est déjà très familière, la flèche suffit.
	Ensuite, on demande: "Que doit-on savoir pour trouver mL solution ?" Et on espère que les étudiants répondront: "Nous pourrions obtenir les mL solution des g solution par la densité." On pourrait alors écrire la densité en dessous de la flèche pour être plus clair.
	La dernière étape consiste à proposer la même hypothèse qu'on a utilisée pour la première PISTE. Arrivé à la même hypothèse, on peut être confiant que lorsque les calculs seront complétés, les hypothèses s'annuleront (étant donné qu'on détérmine ici un quotient). Et tout ce qui reste maintenant, c'est les calculs...(il n'y a rien là!)
SOLUTION:	---
	On commence la SOLUTION à la fin de la PISTE et on procède vers le début, étape par étape. La première étape utilise la relation . La solution montrée ici utilise l'analyse dimensionnelle. On pourrait aussi utiliser la règle de trois, mais j'aimerais encourager l'usage de l'analyse dimensionnelle. Cette dernière est plus rapide, se corrige toute seule par les unités, et est l'équivalent mathématique de la règle de trois.
	La dernière étape dans cette PISTE consiste à changer les g HCl en mol HCl , par l'usage du facteur ou par l'usage de la règle de trois. Un autre avantage de l'usage de l'analyse dimensionnelle est la facilité des calculs, qui peuvent maintenant être complétés dans une opération. On encourage les étudiants à vérifier les unités pour éviter les erreurs: si l'unité ne correspond pas à ce qu'on a écrit dans l'OBJECTIF, nous nous sommes égarés dans notre démarche.
	Encore une fois, la SOLUTION suit la PISTE en commençant avec les 100g solution , pour les changer en mL solution , pour arriver finalement à l'unité L solution .
	La toute dernière étape consiste à mettre ensemble les résultats des deux PISTEs et de rapporter la réponse à la question, en respectant les chiffres significatifs, bien sûr!